Au comptoir du savoir

Disclaimer:

Je tiens à préciser que mon but n'est pas de concurrencer des sites comme Savoir Inutile ou Se Coucher Moins Bête qui sont pour moi des sites de références en la matière. Il faut plus voir ceci comme une base de connaissances et de savoirs qui ont retenu mon attention.
J'insiste également sur le fait que ces savoirs ont été valables lorsque je les ai écrit mais que depuis, ils ont pu changer.

1 n'est pas un nombre premier

Un nombre premier est un nombre divisible uniquement pour lui-même et par 1. C'est le cas du nombre 1, donc 1 est premier. CQFD. Voilà comment certains défendent que 1 est un nombre premier lorsque la question leur est posé. Hélas, comme l'affirme le titre, je vous assure que 1 n'est pas un nombre premier et l'erreur se trouve dans la définition incomplète donné à un nombre premier cité au dessus. Celle qu'on m'a apprise à l'école est la suivante "Un nombre premier est un nombre divisible par exactement 2 diviseurs, 1 et lui-même". Il faut donc que le nombre ait en réalité deux diviseurs. Or 1 n'a qu'une seul diviseur dans l'ensemble des entiers naturels N, c'est lui-même. Une autre définition est qu'un nombre premier est un nombre supérieur ou égal à 2  n'ayant comme diviseur que 1 et lui-même. Ainsi la définition est très claire et est spécifiquement et sciemment tournée pour refouler le nombre 1 de l'ensemble des nombres premiers. 

Et pourquoi a-t-on fait cela ? Car on ne fait pas des définitions tortueuses juste pour le plaisir d'embêter les gens. Les maths sont déjà suffisamment détestés (hélas) pour qu'on ajoute inutilement de l'eau dans le moulin de ces détracteurs. L'argument plus haut n'est pas un argument d'autorité. Ce n'est pas "ça a été décrété ainsi par les grands penseurs mathématiques donc tu te tais et tu appliques bêtement". Et je comprends que l'argument "Par définition, 1 n'est pas un nombre premier" ne vous convienne pas, donc on va chercher plus loin. On définit des groupes et ensemble par commodité, car ils ont des traits ou comportements commun. Par exemple, si je définis les nombres entiers pairs comme étant tout nombre dont la division par 2 donne un nombre entier, alors je sais que tous nombres de cet ensemble "nombre entier pair" est divisible par 2. C'est pratique et nous permet d'attribuer certains théorèmes et certaines propriété qui s'expliquent simplement sur cette ensemble là. Par exemple, lorsqu'on additionne ou multiplie deux nombres entiers pairs, le résultat est forcément pair. C'est simple, il n'y a pas d'exceptions, c'est facile à démontrer, ça passe comme une lettre à la poste. Et cela ne remet pas en cause toutes les capacités et propriétés des autres nombres (typiquement les impairs, les rationnels, les irrationnels...). Il y a un procédé qu'on aime bien en mathématique et qui s'appelle la décomposition en nombre premier. Ce n'est pas un petit truc, on l'appelle carrément le théorème fondamental de l'arithmétique. Donc c'est quelque chose d'assez important tant c'est "fondamental" et beaucoups d'autres théorèmes en dépendent. Ce dernier énonce "tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs". Tout nombre entier positif peut est réduit à une multiplication de nombre premier unique. L'unicité est quelque chose d'important car grâce à la décomposition en nombre premier, on est capable d'identifier un nombre. 12 se décompose comme tel 2 x 2 x 3 et c'est la seule façon de l'écrire sauf en changeant l'ordre des opérations, la multiplication étant commutative (2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2)  ou en jouant avec les puissances (2 x 2 x 3 = 2² x 3). Donc peu importe l'ordre, un 2, un autre 2 et un 3, ça identifie 12. Jamais un autre nombre ne se decomposera comme cela. Et c'est très pratique pour bien des choses. Si maintenant, on considère 1 comme un nombre premier. On perd cette unicité. Car on aura 2 x 2 x 3 puis 1 x 2 x 2 x 3 puis 1 x 1 x 2 x 2 x 3 et on peut continuer pendant longtemps.  Alors, on aurait totalement pu modifier le théorème fondamental de l'arithmétique pour dire qu'il se décompose en multiple de nombres premiers non plus uniques ou bien qu'on ignore arbitrairement le 1. On aurait pu. Mais les grands mathématiciens ont préféré tout simplement exclure 1 des nombres premiers pour éviter par la suite de mettre plein d'exceptions dans d'autres théorèmes liés au théorème fondamentale. Les définitions de groupes et ensembles étant là pour nous faciliter la vie, autant ne pas se priver. C'est donc pour cette raison que 1 n'est pas considérer comme un nombre premier.

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